Kombination

Bei der Kombination nehmen wieder beispielhaft Objekte aus einer Urne. Bei der Permutation werden alle Objekte aus der Urne genommen. Bei der Kombination macht man sich nun Gedanken, was passiert, wenn man nicht alle Kugeln aus der Urne nimmt - oder sie wieder zurücklegt und entsprechend häufiger ziehen kann.

Kombination ohne Zurücklegen

Wir nehmen also aus der Urne mit n verschiedenen Kugeln k Kugeln heraus. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, wie es beim Lottospiel üblich ist. Hier werden aus 49 Kugeln 6 verschiedene Kugeln gezogen.

Die Frage ist also, wieviele Möglichkeiten existieren, k Kugeln aus n Kugeln zu ziehen. Ziehen wie aus 6 Kugeln 4 Kugeln, dann gibt es von 6 Kugeln 4, die gezogen werden und (6-4), also 2 Kugeln, die nicht gezogen wurden. Wenn wir uns an die Permutation erinnern, haben wir nun 4 Kugeln, die vergleichbar sind (nämlich gezogen) und 2 Kugeln, die ebenfalls vergleichbar sind (nämlich in der Urne verblieben).

Wir schreiben für die Kombination:

C( n, k ) = P( n, k, n-k ) = { n! } / { k! * ( n-k )! } = (matrix{2}{1}{ n k })

Man spricht „n über k“ und schreibt dies wie einen zweidimensionalen Vektor. Allerdings darf man es nicht mit einem zweidimensionalen Vektor verwechseln!

Für unser Beispiel gilt also

C( 6, 4 ) = ( matrix{2}{1}{6 4} )

C( 6, 4 ) = { 6! }/{ 4! * ( 6-4 )! }
C( 6, 4 ) = { 720 }/{ 24 * 2 }
C( 6, 4 ) = { 720 }/{48}
C( 6, 4 ) = 15

Es gibt also 15 verschiedene Möglichkeiten 4 Kugeln aus der Urne zu ziehen.

gezogen( 1,2,3,4 ), nicht gezogen( 5, 6 )
gezogen( 1,2,3,5 ), nicht gezogen( 4, 6 )
gezogen( 1,2,4,5 ), nicht gezogen( 3, 6 )
gezogen( 1,3,4,5 ), nicht gezogen( 2, 6 )
gezogen( 2,3,4,5 ), nicht gezogen( 1, 6 )
gezogen( 1,2,3,6 ), nicht gezogen( 4, 5 )
gezogen( 1,2,4,6 ), nicht gezogen( 3, 5 )
gezogen( 1,3,4,6 ), nicht gezogen( 2, 5 )
gezogen( 2,3,4,6 ), nicht gezogen( 1, 5 )
gezogen( 1,2,5,6 ), nicht gezogen( 3, 4 )
gezogen( 1,3,5,6 ), nicht gezogen( 2, 4 )
gezogen( 2,3,5,6 ), nicht gezogen( 1, 4 )
gezogen( 1,4,5,6 ), nicht gezogen( 2, 3 )
gezogen( 2,4,5,6 ), nicht gezogen( 1, 3 )
gezogen( 3,4,5,6 ), nicht gezogen( 1, 2 )

Die Ergebnismenge

Diese Menge an möglichen Ergebnissen ist die Ergebnismenge Ω („Omega“).

Ω = { ( 1,2,3,4 ), ( 1,2,3,5 ), ( 1,2,4,5 ), ( 1,3,4,5 ), ( 2,3,4,5 ), ( 1,2,3,6 ), ( 1,2,4,6 ), ( 1,3,4,6 ), ( 2,3,4,6 ), ( 1,2,5,6 ), ( 1,3,5,6 ), ( 2,3,5,6 ), ( 1,4,5,6 ), ( 2,4,5,6 ), ( 3,4,5,6 ) }

Weiterführendes folge im Kapitel Ereignismengen.

Beipiel

Lotto

Wir nehmen 6 Kugeln aus 49:

C( 49, 6 ) = (matrix{2}{1}{49 6})

C( 49, 6 ) = { 49! }/{ 6! * ( 49-6! )! }
$C( 49, 6 ) = { 6,08 * 10^62 }/{ 6,04 * 10^52 * 720 }$
C( 49, 6 ) = 13983816

Die Chance also 6 Richtige zu erwischen bedeutet die einzige richtige Kombination zu treffen von den etwa 14 Millionen Möglichkeiten.

Kombination mit Zurücklegen

Wenn die Kugeln auch wieder zurückgelegt werden dürfen, müssen wir die Kugeln, die wir wieder reinlegen, mitberechnen:

$C_{w}(n, k ) = C( n + k - 1, k ) = ( matrix{2}{1}{n+k-1 k} )$

Beispiel

Nehmen wir an, wir machen die Lottoziehung und legen jedesmal, wenn wir eine Kugel gezogen haben, diese wieder zurück. Wie wahrscheinlich ist, dass 6 mal hintereinander die '1' gezogen wird?

$C_{w}( 49, 6 ) = C( 49+6-1, 6 )$
$C_{w}( 49, 6 ) = ({54}under{6} }$
$C_{w}( 49, 6 ) = { 2,31 * 10^{71} }/{ 720 * 6,08 * 10^{62} }$
Cw( 49, 6 ) = 28989675