Permutation

Unter einer Permutation versteht man die Anzahl der Möglichkeiten, in der man eine Anzahl von Objekten anordnen kann. Ein Beispiel: In einer Urne befinden sich eine blaue, eine rote und eine grüne Kugel. Wir haben damit 3 verschiedene Objekte, die man wie folgt anordnen kann:

  1. blau, rot, grün
  2. blau, grün, rot
  3. rot, blau, grün
  4. rot, grün, blau
  5. grün, blau, rot
  6. grün, rot, blau

Beim ersten ziehen haben wir drei verschiedene Möglichkeiten, nachdem die Kugel aus der Urne genommen wurde, verbleiben noch zwei Kugeln in der Urne, also nur noch zwei Möglichkeiten. Nachdem die zweite Kugel entnommen wurde, ist noch eine Kugel in der Urne, und somit kann man natürlich auch nur genau diese Kugel ziehen.

Das entspricht also 3 * 2 * 1 Möglichkeiten und das macht 6 Möglichkeiten, wie oben aufgelistet. Dies entspricht der Fakultät der Anzahl der Objekte:

3! = 3 * 2 * 1
P(3) = 6

Hätten wir 5 unterschiedliche Kugeln, so wären es P(5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120

Die Permutation für n Möglichkeiten entspricht also P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) ... 1 = n!

Gleichartige Objekte

Nehmen wir an, dass wir mehrere gleiche Kugeln haben. Nehmen wir die grüne Kugel aus und legen eine weitere rote Kugel ein. Die ehemals grüne Kugel beschreibe ich hier als rot2, aber sie ist genauso rot, wie die rote Kugel: Sie sind also in Wirklichkeit nicht zu unterscheiden.

  1. blau, rot, rot2
  2. blau, rot2, rot
  3. rot, blau, rot2
  4. rot, rot2, blau
  5. rot2, blau, rot
  6. rot2, rot, blau

Wir sehen, dass die Möglichkeiten 1 und 2, 3 und 5, sowie 4 und 6 identisch sind. Wir haben drei Objekte, von denen zwei Objekte gleich sind. Um die Anzahl der unterschiedlichen Permutationen herauszufinden, müssen wir noch durch die Anzahl der Permutationen der gleichartigen Objekte teilen:

P(Objekte, blaue, rot) = { Objekte! }/{ blau! * rot! }
P( 3, 1, 2 ) = { 3! }/{ 1! * 2! }
P( 3, 1, 2 ) = { 6 }/{ 1 * 2 }
P( 3, 1, 2 ) = { 6 }/{ 2 }
P( 3, 1, 2 ) = 3

Weitere Beispiele

3 unterschiedliche Objekte bei 10 Objekte

Nehmen wir 10 Kugeln, zwei rote, drei blaue und 5 grüne:

P( Objekte, rot, blau, grün ) = { Objekte! }/{ rot! * blau! * grün! }
P( 10, 2, 3, 5 ) = { 10! }/{ 2! * 3! * 5! }
P( 10, 2, 3, 5 ) = { 3628800 }/{ 2 * 6 * 120 }
P( 10, 2, 3, 5 ) = 3628800 / 1440
P( 10, 2, 3, 5 ) = 2520

2 unterschiedliche Objekte bei 10 Objekte, gleichverteilt

Nehmen wir 10 Kugeln bei je 5 schwarzen und 5 weißen Kugeln

P( Objekte, rot, blau, grün ) = Objekte! / ( schwarz! * weiß! )
P( 10, 5, 5 ) = 10! / ( 5! * 5! )
P( 10, 5, 5 ) = 3628800 / ( 120 * 120 )
P( 10, 5, 5 ) = 3628800 / 14400
P( 10, 5, 5 ) = 252

2 unterschiedliche Objekte bei 10 Objekte

Nehmen wir 10 Kugeln bei einer schwarzen und 9 weißen Kugeln

P( Objekte, schwarz, weiß ) = { Objekte! }/{ schwarz! * weiß! }
P( 10, 1, 9 ) = { 10! }/{ 1! * 9! }
P( 10, 1, 9 ) = { 3628800 }/{ 1 * 362880 }
P( 10, 1, 9 ) = { 3628800 }/{ 362880 }
P( 10, 1, 9 ) = 10

1 unterschiedliches Objekt bei 10 Objekte

Nehmen wir 10 Kugeln und alle sind schwarz

P( Objekte, schwarz ) = { Objekte! }/{ schwarz! }
P( 10, 10 ) = { 10! }/{ 10! }
P( 10, 10 ) = { 3628800 }/{ 3628800 }
P( 10, 10 ) = 1