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Wahrheitstabelle
Definition
In der Aussagenlogik ist eine Aussagenvariable ein Platzhalter für eine Aussage. Die Belegung der Variablen erfolgt durch die Wahrheitswerte W oder F.
Mittels einer Wahrheitstabelle kann festgestellt werden, für welche Belegungen der Aussagevariablen der Ausdruck wahr bzw. falsch ist.
Dabei muss auf die Prioritäten der Junktoren geachtet werden.
Erfüllungsmenge
Die Erfüllungsmenge ist die Menge E[A(x1, x2, … xn)] (sprich: die Menge E des Ausdruckes A der Variablen x1, x2, … xn) aller Belegungen der Aussagenvariablen x1, x2, … xn für die A (x1, x2, … xn) zu einer wahren Aussage wird.
Beispiel für eine Erfüllungsmenge eines Ausdruckes mit den Variablen a und b:
E[A(a, b)] = {(W, W), (W, F), (F, W)}
Erstellung einer Wahrheitstabelle
- Aussagevariablen zählen; bei n Variablen 2n Belegungen
Beispiel: 3 Variablen ⇒ 23 ⇒ 8 verschiedene Belegungen
- Variablen in einer zusätzlichen Zeile über der eigentlichen Wahrheitstabelle anschreiben.
- Bei der letzten Variable abwechselnd W und F anschreiben.
- Die Anzahl der Ws nach links verdoppeln.
- Ausdrücke anschreiben (auf Prioritäten achten!).
- Auswertung des aussagenlogischen Ausdruckes von innen nach außen.
- Erfüllungsmenge anschreiben.
Beispiel
Ausdruck: ¬b → ¬a ∨ c
3 Variablen → 8 verschiedene Belegungen
Alphabetisch anschreiben:
| a | b | c |
|---|---|---|
Rechts abwechselnd den Wert W und F einsetzen, nach links Anzahl der Ws und Fs verdoppeln:
| a | b | c |
|---|---|---|
| W | W | W |
| W | W | F |
| W | F | W |
| W | F | F |
| F | W | W |
| F | W | F |
| F | F | W |
| F | F | F |
Ausdruck anschreiben, darunter die Reihenfolge der Auflösung:
| a | b | c | ¬ | b | → | ¬ | a | ∨ | c | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| W | W | W | ||||||||
| W | W | F | ||||||||
| W | F | W | ||||||||
| W | F | F | ||||||||
| F | W | W | ||||||||
| F | W | F | ||||||||
| F | F | W | ||||||||
| F | F | F | ||||||||
| 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 3 | 1 |
Es muss nicht jeder Ausdruck einzeln berechnet werden, aber dadruch wird die Berechnung des Gesamtergebnisses um vieles einfacher.
Wahrheitswerte der Ausdrücke für die jeweiligen Belegungen berechnen:
| a | b | c | ¬ | b | → | ¬ | a | ∨ | c | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| W | W | W | F | W | W | F | W | W | W | |
| W | W | F | F | W | W | F | W | F | F | |
| W | F | W | W | F | W | F | W | W | W | |
| W | F | F | W | F | F | F | W | F | F | |
| F | W | W | F | W | W | W | F | W | W | |
| F | W | F | F | W | W | W | F | W | F | |
| F | F | W | W | F | W | W | F | W | W | |
| F | F | F | W | F | W | W | F | W | F | |
| 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 3 | 1 |
1 Wahrheitswerte einsetzen
2 Wahrheitswerte negieren
3 Disjunktion berechnen
4 Implikation berechnen
Die Aussageform ist für 7 Belegungen wahr.
Erfüllungsmenge: E[A(a, b, c)] = {(W, W, W), (W, W, F), (W, F, W), (F, W, W), (F, W, F), (F, F, W), (F, F, F)}
Kategorisierung der Erfüllungsmengen
Tautologie
Alle Belegungen der Variablen ergeben wahr.
Beispiel: a ∨ ¬a
Ist immer wahr, da immer mindestens eine Variable den Wahrheitswert W hat.
Kontingenz
Mindestens eine Belegung ist wahr und mindestens eine falsch.
Beispiel: a ∧ b
Kann sowohl W als auch F ergeben.
Kontradiktion
Keine Belegung ist wahr.
Beispiel: a ∧ ¬a
Ist immer falsch, da immer mindestens eine Variable den Wahrheitswert F hat.