Bevor es mit der Vektorrechnung richtig los geht muss natürlich erst einmal geklärt werden, was ein Vektor überhaupt ist und welche allgemeinen Aussagen zu Vektoren getroffen werden können.

Im Einsteigstext wurde schon die Geschwindigkeit als gerichtete Größe benannt. Um bei diesem Beispiel zu bleiben, betrachten wir folgenden Sachverhalt:
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem ¹⁾ startet ein Fahrzeug im Punkt und eines zur gleichen Zeit im Punkt . Das erste Fahrzeug kommt nach einer bestimmten Zeit im Punkt an, das zweite nach der gleichen Zeitspanne im Punkt . Wir wollen nun die Bewegungen vergleichen, wenn wir davon ausgehen, dass es sich um geradlinige gleichförmige Bewegungen handelt.
Dazu betrachten wir die Änderungen zwischen den Koordinaten, also deren Differenzen. Das erste Fahrzeug bewegt sich um in x-Richtung und um in y-Richtung. Die Geschwindigkeit lässt sich also zum Vektor zusammenfassen. Das zweite Fahrzeug bewegt sich um in x-Richtung und um in y-Richtung; der Geschwindigkeitsvektor beträgt auch hier .
Das heißt also, dass wir durch den Vektor die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge beschreiben können.

Ein Vektor ist die Menge aller parallelen Pfeile mit der gleichen Länge und der gleichen Orientierung²⁾. Wählt man Pfeile aus dieser Menge aus, dann nennt man diese Repräsentanten des Vektors.

Zeichnen wir einen Pfeil von nach und von nach , dann erhalten wir zwei Repräsentanten des Vektors . Die Vektoren nennt man dann und . Diese sind identisch, also gleich lang (Länge), zeigen in die gleiche Richtung (Parallelität) und die Spitze ist am selben Ende (Orientierung). Außerdem könnte man gedanklich einen Pfeil auf den anderen durch Verschiebung abbilden.

Zwei Vektoren sind genau dann identisch, wenn sie durch den selben Pfeil repräsentiert werden können.
gilt genau dann, wenn , , und .

Den Vektor, dessen Koordinaten alle gleich null sind, nennt man Nullvektor .

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