Lagebeziehungen zwischen Vektoren

Nun da wir die Rechengesetze der Vektoren kennen, können wir uns der Lage der Vektoren untereinander widmen. Dabei untersuchen wir im dreidimensionalen Raum die Winkelbeziehung, die Kolinearität und die Komplanarität.

Orthogonalität

Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null beträgt.
, wenn .

Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Normalenvektor

Die zu einem gegebenen Vektoren orthogonalen Vektoren nennt man auch Normalenvektoren.
Für den zweidimensionalen Fall kann man zu einem gegebenen Vektor vec{a} = (matrix{2}{1}{x y}) den Normalenvektor vec{a{prime}} durch vec{a{prime}} = r · (matrix{2}{1}{y {-x}}) mit r in bbR, r <> 0 berechnen. Für delim{|}{r}{|} = 1 gilt delim{|}{vec{a}}{|} = delim{|}{vec{a{prime}}}{|} .
Beweis: ¹⁾
tabular{000000}{000000}{
vec{a} circ {r · vec{a{prime}}} {= 0} {}
(matrix{2}{1}{x y}) circ {r · (matrix{2}{1}{y {-x}})} {= 0} {}
(x · r·y) {+} (y · (-r·x)) {= 0} {}
{r · x · y} {-} {r · x · y} {= 0} {}
{} {} {0} {= 0} {q.e.d.}
}

Kollinearität

Vektoren, deren Repräsentanten alle auf einer Gerade liegen können, heißen kollinear.

Will man eine Vektorenmenge $M = delim{lbrace}{vec{a_1}, vec{a_2}, cdots, vec{a_n}}{rbrace}$ auf Kollinearität testen, dann muss man überprüfen, ob für alle Vektoren $vec{a_i}$ (außer $vec{a_1}$ ) $vec{a_i} = r · vec{a_1}$ gilt, wobei r in bbR .
Dies nennt man auch lineare Abhängigkeit, was später noch näher erläutert werden soll.

Komplanarität

Vektoren, deren Repräsentanten alle in einer Ebene liegen können, heißen komplanar.

Die Komplanarität dreier Vektoren aus dem dreidimensionalen Raum lässt sich leicht durch das Spatprodukt beweisen: die Vektoren vec{a} , vec{b} und vec{c} heißen genau dann komplanar, wenn (vec{a}*vec{b})circ vec{c} = 0 gilt.

Will man eine Vektorenmenge $M=delim{lbrace}{ vec{a_1}, vec{a_2}, cdots, vec{a_n}}{rbrace}$ auf Komplanarität testen, dann muss man überprüfen, ob für alle Vektoren $vec{a_i}$ (außer $vec{a_1}$ und $vec{a_2}$ ) die Gleichung $r_1 · vec{a_1} + r_2 · vec{a_2} + ... + r_i · vec{a_i} = vec{o}$ eine Lösung besitzt, wobei r_1 , r_2 , , r_i beliebige reele Zahlen sind, die nicht alle gleichzeitig null sein dürfen.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der Gleichung für das Skalarprodukt geht sofort die Winkelgleichung hervor.

Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Vektoren und dem Produkt der Beträge der Vektoren.
, wobei dem Winkel zwischen und entspricht.

Linearkombination und lineare Abhängigkeit

Der Vektor heißt Linearkombination der Vektoren $vec{a_1}$ , $vec{a_2}$ , , $vec{a_n}$ , falls es reelle Zahlen , , …, gibt, sodass gilt:
$vec{b} = r_1 · vec{a_1} + r_2 · vec{a_2} + ... + r_n · vec{a_n}$

Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn sich wenigstens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Ansonsten heißt die Vektormenge linear unabhängig.

Durch Überlegung lässt sich zeigen, dass Mengen aus mindestens zwei kollinearen bzw. mindestens drei komplanaren Vektoren immer linear abhängig sind. Aus zweiterem folgt, dass im zweidimensionalen Raum eine Menge von drei Vektoren immer linear abhängig ist. Daraus lässt sich schlussfolgern, dass im -dimensionalen Raum eine Menge aus n + 1 Vektoren immer linear abhängig sein muss.
Das heißt aber, dass sich ein Vektor im -dimensionalen Raum immer als Linearkombination nicht paralleler Vektoren darstellen lässt.
Hierbei nennt man die Menge der Vektoren $vec{a_1}$ bis $vec{a_n}$ Vektor-Basis, die Koeffizienten r_1 bis r_n Koordinaten bezüglich der Basis und die Produkte aus Vektor und Koeffizient Komponenten bezüglich der Basis.

Koordinatensystem

Als Koordinatensystem -ter Dimension bezeichnet man eine Menge linear unabhängiger Vektoren (Basisvektoren) und einen fest gewählten Punkt (Koordinatenursprung).
Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man den Vektor , der durch einen Pfeil repräsentiert wird, der im Koordinatenursprung beginnt und im Punkt endet.