Ziffern gehören zu den Grundlagen der Mathematik, die gerne sehr schnell wieder vergessen werden, weil sie so selbstverständlich sind. Wer einen Blick in die Informatik wirft, oder sich in der Mathematik schwer tut, für den lohnt allerdings ein Blick auf diese Grundlage der Mathematik wieder. So grundsätzlich, wie sie im ersten Moment scheint, ist sie nämlich nicht.

Ziffern sind eine Möglichkeit Zahlenwerte zu verschlüsseln. Wir kennen die Werte null, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht und neun und kennen dafür entsprechende Chiffre ¹⁾, nämlich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Als erstes lernen wir in der Grundschule bis zehn zu zählen, doch wieso gerade bis zehn? Vermutlich hat alles damit angefangen, dass Menschen zum Rechnen die Finger als Hilfsmittel verwendet haben. Zehn Finger: Zehn Ziffern. Das Wort Ziffer ist eng verwand mit der Chiffre, der Chiffrierung, also der Frage, wie man eine Bedeutung so verschlüsselt, dass jemand anderer die Bedeutung wieder erkennen kann, ohne persönlich durch ein Gespräch über die zu übermittelnde Information in Kenntnis gesetzt zu werden.

Eine Zahl ist ein Wert, und eine Zahl kann aus nur einer Ziffer bestehen. Während eine Ziffer aber nur den Wert von Null bis Neun repräsentieren kann, kann eine Zahl auch viel größere Werte repräsentieren.

Zwölf Apostel. Hier stehen zwei Ziffern hintereinander. Mit römischen Ziffern sind es die XII Apostel: 10+1+1. Der Vorteil von römischen Ziffern ist, dass sich ihre Bedeutung einfach aufsummieren lässt, sie sind aufzählbar. 12 Apostel. Zählt man 1+2 zusammen, verlieren wir drei Apostel, aber wieso ist dann 12 eigentlich zwölf?

Um die Bedeutung einer arabischen Zahl zu verstehen, reicht es nicht nur addieren, wir müssen auch Multiplizieren. Die Zahl 12 besteht aus einer Multiplikation und einer Addition.

Die Stelle ganz rechts entspricht also dem Wert ihrer Ziffer, die 2. Stelle von rechts hingegen entspricht dem zehnfachen. Nachdem wir bis 9 gezählt haben, gehen uns nämlich die Ziffern aus, also müssen wir uns was Neues einfallen lassen: Wir zählen auf der zweiten Stelle, wie oft uns die Ziffern ausgegangen sind und wenn wir Erbsen zählen, dann gehen uns bei jeder zehnten Erbse die Ziffern aus und wir zählen in der 2. Stelle, eins hoch. Wenn uns allerdings 9 mal die Ziffern ausgegangen sind und wir 9 Erbsen gezählt haben, dann erhalten wir das Problem erneut - und wir wiederholen auch die Lösung: Wir fügen links eine Stelle hinzu und zählen dort, wie oft uns die Ziffern ausgehen an der Stelle, mit der wir Zählen oft uns ganz rechts die Ziffern ausgehen. Das passiert uns bei jeder hundertsten Erbe. Und wo weiter…

Was bedeutet das? Wir haben 10 Ziffern, das bedeutet also schonmal, dass die Zehn bei unserer Art zu rechnen eine wichtige Rolle spielt. Daraus ergibt sich, dass das Multiplizieren und Dividieren mit 10 so einfach ist. 5 * 10 ist 50. Wir schieben einfach rechts eine Null ein und fertig.

Nehmen wir eine Zahl 403, dann haben wir 3 Ziffern. Nennen wir sie x, y, z.

Kleiner Exkurs zu den Potenzen: 10^0 ist 1, 10^1 ist 10, 10^2 ist 100, 10^3 ist 1000 und so weiter. Mit diese Formel können wir also beliebige Kombinationen von Ziffern in dreistellige Zahlenwerte umrechnen. Und wenn wir die Zahl 7 ausrechnen wollen, dann sind x = 0, y = 0 und z = 7. Die Zahl fünf können wir ja auch als 007 schreiben. Überhaupt können wir beliebig viele Nullen vor jede Zahl schreiben ohne ihre Bedeutung zu verändern. Entsprechend, können wir unsere kleine Formel erweitern:

Bisher haben wir uns nur mit den zählbaren Zahlen, den sogenannten „natürlichen Zahlen“ beschäftigt. Es gibt aber auch Zahlen, die ein Komma haben, die sogenannten „reellen Zahlen“. Was bedeutet das? Nun, das bedeutet, dass wir einen Apfel auch an zehn Leute verteilen können, dann aber eben nicht jeder einen Apfel bekommt, sondern nur ein Teil davon. Wir haben uns vorhin bereits Gedanken darüber gemacht, dass wir durch Einfüngen einer Null sehr einfach mit 10 Multiplizieren können. Dabei wurde eigentlich nicht eingefügt, denn die Null war bereits vorher da. Denn wie man vor eine Zahl beliebig viele Nullen vorsetzen kann, so kann man auch beliebig viele Nullen hinten an eine Zahl anfügen. Das Komma gibt an, wo die Einer-Stelle ist. 5.0 * 10 = 50. Wir haben also nicht eingefügt, sondern für die Multiplikation einfach nur die Ziffern nach links verschoben. Und genauso geht das Dividieren durch 10: Wir verschieben die Ziffern nach rechts. 1.0 Äpfel geteilt durch 10 Personen ergibt 0.1 Äpfel pro Person.

Das schöne ist, dass uns die Mathematik mit ihrer schönen Formel nicht im Stich lässt. Die Potenzen funktionieren nämlich auch mit negativen Zahlen:

Ich habe hier die Nachkommastellen groß geschrieben. 10^-1 ist 0.1, 10^-2 ist 0.01 und so weiter.

Grundsätzlich ändert das Komma nichts an der Mathematik, es besteht also kein Grund zu Angst, dass Zahlen mit Komma schwieriger zu Handhaben wären als Zahlen ohne Komma. Alle Zahlen haben schließlich ein Komma, welches nicht mehr tut, als die Ziffer zu kennzeichnen, die für die 1 steht. Nur lässt man dieses Komma halt gerne auch mal weg, wenn man es nicht braucht.

Ziel dieser Lektion ist zu verstehen, dass unsere Zahlen wie ein Setzbaukasten funktionieren. Sie werden aus Ziffern zusammengesteckt und man kann sie im Ganzen verschieben, um mit 10 zu multiplizieren und zu dividieren. Das Komma ist keine Steigerung der Komplexität, sondern nur eine Markierung für die Einer-Stelle innerhalb der Zahl.