Wie löst man Gleichungen auf?

[Xeon]

Hallo zusammen

Vielleicht könnt ihr mir wieder helfen, ich möchte folgende Gleichung lösen:

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12
---  = 2
y -1

Dabei soll der Wert von y herausgefunden werden. Ich weiß dass man auf beiden Seiten dasselbe Rechnen muss. Wie gehe ich da jetzt vor?

Danke im Voraus!


Liebe Grüße
Xeon

[Xin]

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12
---  = 2
y -1

Dabei soll der Wert von y herausgefunden werden. Ich weiß dass man auf beiden Seiten dasselbe Rechnen muss. Wie gehe ich da jetzt vor?

Naja, Du musst irgendwie das y alleine stellen. Was steht da - ich schreibe das mal was anders:

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{12 / ( y-1 )} = 2

Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

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12 = 2*( y-1 )

Jetzt müssen wir die runde Klammer loswerden. Wir können beide Seiten durch 2 teilen.

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6 = y-1

Nun sind die Klammern weg und das einzige, was stört ist die -1. Also addieren wir auf beide Seiten 1 auf:

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7 = y

Und noch in hübsch:

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y = 7

[Xeon]

Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

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12 = 2*( y-1 )

Auf beide Seiten? Das verstehe ich nicht, es wird doch nur die rechte Seite multipliziert? Auf der linken Seite ist ja wie vor die 12 geblieben.

[Xin]

Irgendwie müssen wir die {}-Klammerung wegkriegen, damit wir an y rankommen. Das geht, wenn wir beide Seiten mit (y-1) multiplizieren.

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12 = 2*( y-1 )

Auf beide Seiten? Das verstehe ich nicht, es wird doch nur die rechte Seite multipliziert? Auf der linken Seite ist ja wie vor die 12 geblieben.

Auf der linken Seite wurde vorher durch (y-1) dividiert. Multipliziere ich irgendwas mit (y-1) bleibt irgendwas * (y-1) / (y-1) übrig. (y-1)/(y-1) ist 1. Irgendwas mal 1, da darf man das mal 1 auch weglassen.

[Xeon]

Als erstes teile ich:

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   12
----------- = 2
(y-1) / (y-1)

Das ergibt dann:

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12
---  = 2
1

Das gleiche mache ich auf der rechten Seite wo die 2 steht. Da dort (y-1) nicht steht, kann man das so nicht machen, als wird auf der rechten Seite multipliziert:

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12
---    = 2 * (y-1)
1

Habe ich es verstanden von der Logik bis hierher?

[Xin]

Als erstes teile ich:

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   12
----------- = 2
(y-1) / (y-1)

Das ergibt dann:

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12
---  = 2
1

Das gleiche mache ich auf der rechten Seite wo die 2 steht. Da dort (y-1) nicht steht, kann man das so nicht machen, als wird auf der rechten Seite multipliziert:

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12
---    = 2 * (y-1)
1

Habe ich es verstanden von der Logik bis hierher?

Von der Denk-Logik her ja, schriftlich passt das so aber nicht.

Als erstes teile ich:

Nein, Du multiplizierst und zwar bitte immer auf beiden Seiten, so ändert sich die Aussage der Gleichung nicht. Bei dem, was Du schreibst, steht einmal 12/1 = 2. Das ist falsch.

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 12 * (y-1) 
----------- = 2 * (y-1)
(y-1)

Nun kannst Du den Bruch kürzen. Du teilst also Zähler und Nenner durch (y-1). Damit ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

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 12 * (y-1) / (y-1)
----------------------- = 2 * (y-1)
(y-1) / (y-1)

Entsprechend verrechnen:

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 12 * 1
----------------------- = 2 * (y-1)
1

ergibt: 12 = 2*(y-1).
Klammer auflösen: 12 = 2y-2
Die 2 rüberbringen, also auf beiden Seiten 2 addieren: 12+2 = 2y-2+2
also : 14 = 2y
Beide Seiten durch 2 teilen: 2y/2 = 14/2
und so kommt y=7 raus.

Oder eben alternativ ausgehend von 12 = 2*(y-1)
durch 2 Teilen: 12/2 = 2*(y-1)/2
ist 6 = y-1
die 1 rüberholen, also auf beiden Seiten 1 addieren: 6+1 = y-1+1
ergibt: 7=y, bzw. y=7.

[Xeon]

Nun kannst Du den Bruch kürzen. Du teilst also Zähler und Nenner durch (y-1). Damit ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

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 12 * (y-1) / (y-1)
----------------------- = 2 * (y-1)
(y-1) / (y-1)

Ich habe den Bruch jetzt ausmultipliziert:

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12y -12
---------
  y -1

Aber wie kürze ich ihn jetzt?

[Xin]

Ich habe den Bruch jetzt ausmultipliziert:

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12y -12
---------
  y -1

Aber wie kürze ich ihn jetzt?

In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

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12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)

[Xeon]

In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

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12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)

Das Ausklammern hat geklappt, aber beim Kürzen vom Bruch bin ich mir nicht sicher:

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12y -12
--------
  y -1

Im Nennen und im Zähler steht ein y, also kann man das kürzen:

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12 -12
-------
 1 -1

Wenn man jetzt -12 im Zähler mit der -1 im Nenner kürzt, bleibt nur noch:

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12
-----
1

übrig. Und das ergibt dann:

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12

Richtig gerechnet?

[Xin]

In dem Du entweder siehst, dass oben das 12fache steht oder eben brav wieder ausklammerst.

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12*(y -1)         (y-1)
---------  = 12 * -----  = 12
  y -1            (y-1)

Das Ausklammern hat geklappt, aber beim Kürzen vom Bruch bin ich mir nicht sicher:

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12y -12
--------
  y -1

Im Nennen und im Zähler steht ein y, also kann man das kürzen:

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12 -12
-------
 1 -1

Wenn man jetzt -12 im Zähler mit der -1 im Nenner kürzt, bleibt nur noch:

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12
-----
1

übrig. Und das ergibt dann:

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12

Richtig gerechnet?

Nein. Du hast nicht durch y-1 geteilt. y-1/y-1 sind 1 und nicht 1-1. Du hast also unten y-1 und oben 12y-12 abgezogen. Das geht so nicht.
Du kannst die Summe oben (12y-12) ausklammern zu 12 * (y-1). Dann hast Du ein Produkt (Multiplikation) aus der Du kürzen darfst. Aus Summen kann man nicht kürzen. Du kannst also auch nicht die -12 oben gegen die -1 kürzen, da man aus Summen nicht kürzen darf. Der Bruchstrich ist eine Division. Teile dieser Division darfst Du nur verwerfen, wenn Du oben und unten die gleiche Multiplikationen rausnimmst: 1/2 ist genausoviel (2*1)/(2*2) = 2/4. Aber 1+1/2+1 ist was anderes, nicht gleich mit 1/2. Eine Umformung muss immer einen Wert ergeben, der gleich dem vorherigen Wert ist.