Wie rechnet man mit Bruchterme

Fragen zu mathematischen Problemen
Xeon
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Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xeon » Mo Dez 05, 2022 4:50 pm

Hallo zusammen

Ich lerne nebenbei Mathe, und möchte euch fragen ob ihr mir helfen könnt. Leider verstehe ich nicht wie man mit Bruchterme multipliziert und dividiert. Hier die Aufgabe:

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 2y + 1          (2y + 1) y
----------  :  -------------
y²(y + 1)       ( y + 1)² 4y²
Der erste Schritt ist den Kehrbruch anzuwenden, das sieht dann so aus:

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 2y + 1         ( y + 1)² 4y²
---------   *   -------------
y²(y + 1)       (2y + 1) y
Aus einer Division wird eine Multiplikation. Das ( y + 1)² ist die erste binomische Formel, sie müsste so aussehen, wenn man sie auflöst: y² +2y +1.

Meine Frage ist jetzt: wie geht es weiter? Was muss ich mit was multiplizieren, oder addieren? Oder muss ich vorher kürzen?


Liebe Grüße
Xeon

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cloidnerux
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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von cloidnerux » Mo Dez 05, 2022 7:28 pm

Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

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(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y
ergibt dann

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4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)
Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.
Heraus kommt dann

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4*(y+1)
---------
y
das ist dann die kürzeste Form, da kann man dann aufhören.
Terme wie (y+1) oder (2y+1) sollte man nicht auseinander Multiplizieren, da in vielen Disziplinen damit die Pol oder Nullstellen gefunden werden und man es sich so einfacher macht.
Redundanz macht wiederholen unnötig.
quod erat expectandum

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Xin
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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xin » Mo Dez 05, 2022 7:36 pm

Also.... wichtig ist hier erstmal, dass Du aus Multiplikationen kürzen darfst und aus Summen nicht. Summen in Klammern aber sind normale Faktoren.

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 2y + 1         ( y + 1)² 4y²
---------   *   -------------
y²(y + 1)       (2y + 1) y
Hier können wir erstmal den Faktor 2y+1 kürzen. Nochmal: 2y+1 ist eine Summe, aber hier wirkt der Bruchstrich wie eine Klammer, bzw. unten steht es in Klammern. Beide Klammern stehen innerhalb einer Multiplikation. DArum sind diese Summen Faktoren, die wir aus Produkten wegkürzen, wir kürzen diese Summen, aber wir kürzen aus Produkten und nicht aus Summen! Wichtiger Unterschied!

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     1            ( y + 1)² 4y²
---------   *   -----------------
y²(y + 1)            1   y
Dann haben wir y2 oben wie auch unten als Faktor

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     1            ( y + 1)² 4*1
---------   *   -----------------
1(y + 1)            1   y
Dann wäre da noch ein (y+1), was unten einmal vorkommt und oben zweimal: (y+1)² = (y+1)*(y+1). Da können wir eins von wegnehmen, also wird aus ² nun ¹, was man auch weglassen kann.

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     1            ( y + 1)¹ 4*1
---------   *   ------------------
1*1                1   y
Das können wir jeztt mal zusammenfassen:

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 4y + 4
---------
    y
Jetzt haben wir blöderweise eine Summe aus der wir nicht wirklich kürzen können. Wir könnten aber zwei Brüche draus machen in denen keine Summen vorkommen.

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 4y         4
----- +   -----
  y         y
Und hier könnten wir noch aus dem ersten Bruch das y rausnehmen:

Code: Alles auswählen

 4*1        4
----- +   -----
  1         y
Und das ergibt - wenn ich mich nicht vertan habe:

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         4
4  +   -----
         y
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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xeon » Di Dez 06, 2022 5:05 pm

Danke für eure Antworten. cloidnerux hat recht mit der Lösung.
Ich werde erstmal versuchen cloidneruxs Erklärung nachzuvollziehen:
cloidnerux hat geschrieben:
Mo Dez 05, 2022 7:28 pm
Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

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(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y
ergibt dann

Code: Alles auswählen

4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)
Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.
Warum ist das y im Nenner nun weg, es hat sich ja nichts verändert? Und wie kommst du im Zähler auf 4y^3?

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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xeon » Mi Dez 07, 2022 4:39 pm

cloidnerux hat geschrieben:
Mo Dez 05, 2022 7:28 pm
Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

Code: Alles auswählen

(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y
Jetzt habe ich es verstanden: Ich multipliziere 4y^2 im Zähler mit y^2 im Nenner.
cloidnerux hat geschrieben:
Mo Dez 05, 2022 7:28 pm
ergibt dann

Code: Alles auswählen

4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)
Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.
Wenn ich alles kürze, und 4y^3 im Zähler mit y^2 im Nenner kürze, kommt bei mir das heraus:

Code: Alles auswählen

4y(y + 1)
----------

Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?

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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xin » Mi Dez 07, 2022 4:46 pm

Xeon hat geschrieben:
Mi Dez 07, 2022 4:39 pm
Jetzt habe ich es verstanden: Ich multipliziere 4y^2 im Zähler mit y^2 im Nenner.
Wenn Du irgendwas multiplizierst oder dividierst, dann bitte das gleiche im Zähler, wie auch im Nenner.
Xeon hat geschrieben:
Mi Dez 07, 2022 4:39 pm
Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?
Wenn Du falsch rechnest, wäre die Frage, was Du eigentlich gerechnet hast. ^^
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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xeon » Do Dez 08, 2022 4:45 pm

Xin hat geschrieben:
Mi Dez 07, 2022 4:46 pm
Xeon hat geschrieben:
Mi Dez 07, 2022 4:39 pm
Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?
Wenn Du falsch rechnest, wäre die Frage, was Du eigentlich gerechnet hast. ^^
Ich glaube ich habe es verstanden:

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4y^3*
-------
y^2*
Wenn man jetzt y^2 im Nenner mit 4y^3 im Zähler kürzt kommt im Zähler 4y^1 heraus. Und da man im Zähler gekürzt hat, muss man im Nenner genauso kürzen. Es kommt y^0 im Nenner heraus. Und dass kann man dann so schreiben:

Code: Alles auswählen

4y
---
y
Richtig gerechnet?

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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xin » Do Dez 08, 2022 4:51 pm

Xeon hat geschrieben:
Do Dez 08, 2022 4:45 pm
Richtig gerechnet?
Richtig gekürzt.

Sofern das nicht das Endergebnis ist auch richtig gerechnet. :D
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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xeon » Fr Dez 09, 2022 4:24 pm

Nochmal zur Übung:

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7y^5
----
 y^4
Wenn ich das jetzt kürze, kommt:

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7y
----
 y
heraus, oder?

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Re: Wie rechnet man mit Bruchterme

Beitrag von Xin » Fr Dez 09, 2022 4:39 pm

Nein.

Es kommt 7y raus. :-)

Wenn Du oben und unten durch y^4 teilst, ist das 7y^5 : y^4 = 7y^(5-4) und unten y^4 : y^4 = y^(4-4). Oben bleiben 7y, unten y^0. irgendwas hoch 0 ist 1, also 7y/1 und das ist 7y.
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