Wie rechnet man mit Bruchterme

[Xeon]

Hallo zusammen

Ich lerne nebenbei Mathe, und möchte euch fragen ob ihr mir helfen könnt. Leider verstehe ich nicht wie man mit Bruchterme multipliziert und dividiert. Hier die Aufgabe:

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 2y + 1          (2y + 1) y
----------  :  -------------
y²(y + 1)       ( y + 1)² 4y²

Der erste Schritt ist den Kehrbruch anzuwenden, das sieht dann so aus:

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 2y + 1         ( y + 1)² 4y²
---------   *   -------------
y²(y + 1)       (2y + 1) y

Aus einer Division wird eine Multiplikation. Das ( y + 1)² ist die erste binomische Formel, sie müsste so aussehen, wenn man sie auflöst: y² +2y +1.

Meine Frage ist jetzt: wie geht es weiter? Was muss ich mit was multiplizieren, oder addieren? Oder muss ich vorher kürzen?


Liebe Grüße
Xeon

[cloidnerux]

Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

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(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y

ergibt dann

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4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)

Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.
Heraus kommt dann

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4*(y+1)
---------
y

das ist dann die kürzeste Form, da kann man dann aufhören.
Terme wie (y+1) oder (2y+1) sollte man nicht auseinander Multiplizieren, da in vielen Disziplinen damit die Pol oder Nullstellen gefunden werden und man es sich so einfacher macht.

[Xin]

Also.... wichtig ist hier erstmal, dass Du aus Multiplikationen kürzen darfst und aus Summen nicht. Summen in Klammern aber sind normale Faktoren.

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 2y + 1         ( y + 1)² 4y²
---------   *   -------------
y²(y + 1)       (2y + 1) y

Hier können wir erstmal den Faktor 2y+1 kürzen. Nochmal: 2y+1 ist eine Summe, aber hier wirkt der Bruchstrich wie eine Klammer, bzw. unten steht es in Klammern. Beide Klammern stehen innerhalb einer Multiplikation. DArum sind diese Summen Faktoren, die wir aus Produkten wegkürzen, wir kürzen diese Summen, aber wir kürzen aus Produkten und nicht aus Summen! Wichtiger Unterschied!

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     1            ( y + 1)² 4y²
---------   *   -----------------
y²(y + 1)            1   y

Dann haben wir y2 oben wie auch unten als Faktor

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     1            ( y + 1)² 4*1
---------   *   -----------------
1(y + 1)            1   y

Dann wäre da noch ein (y+1), was unten einmal vorkommt und oben zweimal: (y+1)² = (y+1)*(y+1). Da können wir eins von wegnehmen, also wird aus ² nun ¹, was man auch weglassen kann.

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     1            ( y + 1)¹ 4*1
---------   *   ------------------
1*1                1   y

Das können wir jeztt mal zusammenfassen:

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 4y + 4
---------
    y

Jetzt haben wir blöderweise eine Summe aus der wir nicht wirklich kürzen können. Wir könnten aber zwei Brüche draus machen in denen keine Summen vorkommen.

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 4y         4
----- +   -----
  y         y

Und hier könnten wir noch aus dem ersten Bruch das y rausnehmen:

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 4*1        4
----- +   -----
  1         y

Und das ergibt - wenn ich mich nicht vertan habe:

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         4
4  +   -----
         y

[Xeon]

Danke für eure Antworten. cloidnerux hat recht mit der Lösung.
Ich werde erstmal versuchen cloidneruxs Erklärung nachzuvollziehen:

Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

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(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y

ergibt dann

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4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)

Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.

Warum ist das y im Nenner nun weg, es hat sich ja nichts verändert? Und wie kommst du im Zähler auf 4y^3?

[Xeon]

Du multiplizierst Zähler und Nenner zusammen:

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(2y+1)*(y+1)^2*4y^2
----------------
y^2*(y+1)*(2y+1)*y

Jetzt habe ich es verstanden: Ich multipliziere 4y^2 im Zähler mit y^2 im Nenner.

ergibt dann

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4y^3*(y+1)^2*(2y+1)
-------------
y^2*(y+1)*(2y+1)

Dann kannst du anfangen zu Kürzen. Du hast in Zähler und nenner jeweils ein y^2, (y+1) und (2y+1), dass kann alles gekürzt werden.

Wenn ich alles kürze, und 4y^3 im Zähler mit y^2 im Nenner kürze, kommt bei mir das heraus:

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4y(y + 1)
----------

Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?

[Xin]

Jetzt habe ich es verstanden: Ich multipliziere 4y^2 im Zähler mit y^2 im Nenner.

Wenn Du irgendwas multiplizierst oder dividierst, dann bitte das gleiche im Zähler, wie auch im Nenner.

Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?

Wenn Du falsch rechnest, wäre die Frage, was Du eigentlich gerechnet hast. ^^

[Xeon]

Irgendwas rechne ich da falsch. Wie kommt y nach unten?

Wenn Du falsch rechnest, wäre die Frage, was Du eigentlich gerechnet hast. ^^

Ich glaube ich habe es verstanden:

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4y^3*
-------
y^2*

Wenn man jetzt y^2 im Nenner mit 4y^3 im Zähler kürzt kommt im Zähler 4y^1 heraus. Und da man im Zähler gekürzt hat, muss man im Nenner genauso kürzen. Es kommt y^0 im Nenner heraus. Und dass kann man dann so schreiben:

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4y
---
y

Richtig gerechnet?

[Xin]

Richtig gerechnet?

Richtig gekürzt.

Sofern das nicht das Endergebnis ist auch richtig gerechnet.

[Xeon]

Nochmal zur Übung:

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7y^5
----
 y^4

Wenn ich das jetzt kürze, kommt:

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7y
----
 y

heraus, oder?

[Xin]

Nein.

Es kommt 7y raus.

Wenn Du oben und unten durch y^4 teilst, ist das 7y^5 : y^4 = 7y^(5-4) und unten y^4 : y^4 = y^(4-4). Oben bleiben 7y, unten y^0. irgendwas hoch 0 ist 1, also 7y/1 und das ist 7y.