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algo/crypt/rsa.txt:<jsm>G(x) = 2^x</jsm>
algo/crypt/rsa.txt:stochastisch unabhängig zwei Primzahlen <jsm>p</jsm> und <jsm>q</jsm> gewählt. Um zur Zeit eine
algo/crypt/rsa.txt:Zahlen größer als <jsm>10^{100}</jsm> sein. m nächsten Schritt wird darauf hin das sogenannte
algo/crypt/rsa.txt:RSA-Modul <jsm>N = p*q</jsm> berechnet. Dieses wird später sowohl im öffentlichen
algo/crypt/rsa.txt:Funktion <jsm>phi(N) = (p-1)*(q-1)</jsm> des RSA-Moduls berechnet. Eine zum
algo/crypt/rsa.txt:vorherigem Ergebnis teilerfremde Zahl <jsm>e</jsm>, für die <jsm>1 < e < phi(N)</jsm> gilt, ergibt
algo/crypt/rsa.txt:Das multiplikative Inverse zu <jsm>e</jsm> bezüglich <jsm>phi(N)</jsm> wird als <jsm>d</jsm> bezeichnet. und
algo/crypt/rsa.txt:Vorschrift <jsm>C = K^e(mod~N)</jsm> verschlüsselt. Wichtig ist, dass
algo/crypt/rsa.txt:<jsm>K</jsm> auf jeden Fall kleiner sein muss als die beiden Primfaktoren <jsm>p</jsm> und <jsm>q</jsm> von <jsm>N</jsm>, <jsm>K</jsm> also auf jeden Fall teilerfremd zu <jsm>N</jsm> ist. Zum Entschlüsseln dient exakt der selbe Vorgang, nur das hierbei über die
algo/crypt/rsa.txt:Vorschrift <jsm>K = C^d(mod~N)</jsm> entschlüsselt wird.
theory/math/vectoranalysis/vectors.txt:Dazu betrachten wir die Änderungen zwischen den Koordinaten, also deren Differenzen. Das erste Fahrzeug bewegt sich um 4 - 2 = 2 in x-Richtung und um 9 - 5 = 4 in y-Richtung. Die Geschwindigkeit lässt sich also zum Vektor <jsm>\pmatrix{2\\4}</jsm> zusammenfassen. Das zweite Fahrzeug bewegt sich um 5 - 3 = 2 in x-Richtung und um 8 - 4 = 4 in y-Richtung; der Geschwindigkeitsvektor beträgt auch hier <jsm>\pmatrix{2\\4}</jsm>.\\
theory/math/vectoranalysis/vectors.txt:Das heißt also, dass wir durch den Vektor <jsm>\pmatrix{2\\4}</jsm> die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge beschreiben können.
theory/math/vectoranalysis/vectors.txt:Zeichnen wir einen Pfeil von P nach P' und von Q nach Q', dann erhalten wir zwei Repräsentanten des Vektors <jsm>\pmatrix{2\\4}</jsm>. Die Vektoren nennt man dann <jsm>\vec{PP'}</jsm> und <jsm>\vec{QQ'}</jsm>. Diese sind identisch, also gleich lang (//Länge//), zeigen in die gleiche Richtung (//Parallelität//) und die Spitze ist am selben Ende (//Orientierung//). Außerdem könnte man gedanklich einen Pfeil auf den anderen durch Verschiebung abbilden.
theory/math/vectoranalysis/vectors.txt:Den Vektor, dessen Koordinaten alle gleich null sind, nennt man //Nullvektor// <jsm>\vec{o}</jsm>.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Unter dem //entgegengesetzten Vektor// -<jsm>\vec{a}</jsm> zu einem Vektor <jsm>\vec{a}</jsm> versteht man denjenigen Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu denen des Vektors <jsm>\vec{a}</jsm> gleich lang, parallel und entgegengesetzt orientiert sind.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> -<jsm>\pmatrix{x\\y\\z}\:=\:\pmatrix{-x\\-y\\-z}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\pmatrix{x_1\\y_1\\z_1}+\pmatrix{x_2\\y_2\\z_2}\:=\:\pmatrix{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:<jsm>\vec{AB}+\vec{BC}\:=\:\vec{AC}</jsm>\\
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>\vec{a}+\vec{b}\:=\:\vec{b}+\vec{a}</jsm> (**Kommutativität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\:=\:(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\:=\:\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\:=\:\vec{b}+(\vec{a}+\vec{c})</jsm> (**Assoziativität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\vec{a}-\vec{b}\:=\:\vec{a}+(-\vec{b})</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\pmatrix{x_1\\y_1\\z_1}-\pmatrix{x_1\\y_1\\z_1}\:=\:\pmatrix{x_1-x_2\\y_1-y_2\\z_1-z_2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Das Ergebnis der //Vervielfachung einen Vektors// <jsm>\vec{a}</jsm> mit der reelen Zahl r ist ein Vektor <jsm>\vec{b}</jsm>.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Für r > 0 ist der Vektor <jsm>\vec{b}</jsm> parallel und gleich orientiert zum Vektor <jsm>\vec{a}</jsm> und hat die r-fache Länge.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Für r < 0 ist der Vektor <jsm>\vec{b}</jsm> parallel und entgegengesetzt orientiert zum Vektor <jsm>\vec{a}</jsm> und hat die %%|%%r%%|%%-fache Länge.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Für r = 0 ist der Vektor <jsm>\vec{b}</jsm> gleich dem Nullvektor.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>r\cdot\pmatrix{x\\y\\z}\:=\:\pmatrix{r\cdot x\\r\cdot y\\r\cdot z}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>r\cdot s\cdot\vec{a}= (r\cdot s)\cdot\vec{a}\:=\:r\cdot(s\cdot\vec{a})\:=\:s\cdot(r\cdot\vec{a})</jsm> (**Assoziativität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>r+s\cdot \vec{a}\:=\:r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{a}</jsm> (**Distributivität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>(\vec{a}+\vec{b})\cdot r\:=\:r\cdot\vec{a}+r\cdot\vec{b}</jsm> (**Distributivität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>r\cdot(-\vec{a})\:=\:(-r)\cdot\vec{a}\:=\:-(r\cdot\vec{a})</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> Als Betrag <jsm>|\vec{a}|</jsm> eines Vektors <jsm>\vec{a}</jsm> bezeichnet man die Länge der durch den Vektor beschriebenen Verschiebung. Für <jsm>\vec{a}\:=\:\vec{AB}</jsm> ist der Betrag des Vektors <jsm>\vec{a}</jsm> gleich der Länge der Strecke <jsm>\bar{AB}</jsm>.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\left|\pmatrix{x\\y}\right|\:=\:\sqrt{x^2+y^2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\left|\pmatrix{x\\y\\z}\right|\:=\:\sqrt{x^2+y^2+z^2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:<jsm>|\vec{a}|\:\geq\:0</jsm>\\
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:<jsm>|r\cdot\vec{a}|\:=\:|r|\cdot|\vec{a}|</jsm>\\
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:<jsm>|\vec{a}+\vec{b}|\:\leq\:|\vec{a}|+|\vec{b}|</jsm>\\
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:Bis jetzt haben wir Vektoren nur mit einer reelen Zahl multipliziert. Was passiert jedoch, wenn man Vektoren miteinander multipliziert? Eine Möglichkeit der Multiplikation von Vektoren stellt das Skalarprodukt dar. Die skalare Multiplikation zweier Vektoren wird durch einen Kringel (<jsm>\circ</jsm>) angezeigt.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\pmatrix{x_1\\y_1\\z_1}\circ\pmatrix{x_2\\y_2\\z_2}\:=\:\pmatrix{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\vec{a}\circ\vec{b}\:=\:|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a},\vec{b})</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>\vec{a}\circ\vec{b}\:=\:\vec{b}\circ\vec{a}</jsm> (**Kommutativität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>(\vec{a}+\vec{b})\circ\vec{c}\:=\:\vec{a}\circ\vec{c}+\vec{b}\circ\vec{c}</jsm> (**Distributivität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>t\cdot\vec{a}\circ\vec{b}\:=\:(t\cdot\vec{a})\circ\vec{b}\:=\:(t\cdot\vec{b})\circ\vec{a}\:=\:t\cdot(\vec{a}\circ\vec{b})</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>(\vec{a})^2\:=\:\vec{a}\circ\vec{a}\:\geq\:0</jsm>, wobei <jsm>(\vec{a})^2\:=\:0</jsm> genau dann, wenn <jsm>\vec{a}\:=\:\vec{o}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:Wie aus der Formulierung bei der Einführung des Skalarproduktes bereits hervorgeht, gibt es noch eine weitere Möglichkeit Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Vektorprodukt wird durch ein Kreuz (<jsm>\times</jsm>) gekennzeichnet und Ergebnis der verktoriellen Multiplikation ist ein //Vektor//.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt:> <jsm>\pmatrix{x_1\\y_1\\z_1}\times\pmatrix{x_2\\y_2\\z_2}\:=\:\pmatrix{y_1\cdot z_2\,+\,z_1\cdot y_2\\z_1\cdot x_2\,+\,x_1\cdot z_2\\x_1\cdot y_2\,+\,y_1\cdot x_2}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * Wenn <jsm>\vec{a}\times\vec{b}\:=\:\vec{c}</jsm> gilt, dann gilt auch <jsm>\vec{c}\perp\vec{a}</jsm> und <jsm>\vec{c}\perp\vec{b}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * Für <jsm>\vec{a}\parallel\vec{b}</jsm> gilt <jsm>\vec{a}\times\vec{b}\:=\:\vec{o}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>|\vec{a}\times\vec{b}|\:=\:|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\angle(\vec{a},\vec{b})</jsm> - Betrag des Vektorproduktes entspricht der Fläche des durch die Vektoren aufgespannten Parallelogrammes.
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>\vec{a}\times\vec{b}\:=\:-\vec{b}\times\vec{a}</jsm> (**Antikommutativität**)
theory/math/vectoranalysis/arithmetics.txt: * <jsm>\vec{a}\times(s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c})\:=\:s\cdot(\vec{a}\times\vec{b})+t\cdot(\vec{a}\times\vec{c})</jsm> (**Bilinearität**)
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:> <jsm>\vec{a}\perp\vec{b}</jsm> gilt also genau dann, wenn <jsm>\vec{a}\circ\vec{b}\:=\:0</jsm>
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:Will man eine Menge M aus n Vektoren (<jsm>M\:=\:\{\,\vec{a_1},\,\vec{a_2},\,\ldots,\,\vec{a_n}\,\}</jsm>) auf Kollinearität testen, dann muss man überprüfen ob für alle Vektoren <jsm>\vec{a_i}</jsm> (außer <jsm>\vec{a_1}</jsm>) gilt: <jsm>\vec{a_i}\:=\:r\cdot\vec{a_1}</jsm>, wobei r eine beliebige reele Zahl ist.\\
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:Die Komplanarität dreier Vektoren aus dem dreidimensionalen Raum lääst sich leicht durch das Spatprodukt beweisen: die Vektoren <jsm>\vec{a}</jsm>, <jsm>\vec{b}</jsm> und <jsm>\vec{c}</jsm> heißen genau dann komplanar, wenn <jsm>(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}\:=\:0</jsm> gilt.
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:Will man eine Menge M aus n Vektoren (<jsm>M\:=\:\{\,\vec{a_1},\,\vec{a_2},\,\ldots,\,\vec{a_n}\,\}</jsm>) auf Komplanarität testen, dann muss man überprüfen ob für alle Vektoren <jsm>\vec{a_i}</jsm> (außer <jsm>\vec{a_1}</jsm> und <jsm>\vec{a_2}</jsm>) die Gleichung <jsm>r_1\cdot\vec{a_1}\,+\,r_2\cdot\vec{a_2}\,+\,r_i\cdot\vec{a_i}\:=\:\vec{o}</jsm> eine Lösung besitzt, wobei <jsm>r_1</jsm>, <jsm>r_2</jsm> und <jsm>r_i</jsm> beliebige reele Zahlen sind, die nicht alle gleichzeitig null sein dürfen.
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:> <jsm>\cos\angle(\vec{a},\vec{b})\:=\:\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:> Der Vektor <jsm>\vec{b}</jsm> heißt //Linearkombination// der Vektoren <jsm>\vec{a_1},\,\vec{a_2},\,\ldots,\,\vec{a_n}</jsm>, falls es reelle Zahlen <jsm>r_1</jsm>, <jsm>r_2</jsm>, ..., <jsm>r_n</jsm> gibt, sodass gilt:
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:> <jsm>\vec{b}\:=\:r_1\cdot\vec{a_1}\,+\,r_2\cdot\vec{a_2}\,+\,\ldots\,+\,r_n\cdot\vec{a_n}</jsm>
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:Hierbei nennt man die Menge der Vektoren <jsm>\vec{a_1}</jsm> bis <jsm>\vec{a_n}</jsm> //Vektor-Basis//, die Koeffizienten <jsm>r_1</jsm> bis <jsm>r_n</jsm> //Koordinaten bezüglich der Basis// und die Produkte aus Vektor und Koeffizient //Komponenten bezüglich der Basis//.
theory/math/vectoranalysis/relations.txt:> Als //Ortsvektor// eines Punktes P bezeichnet man den Vektor <jsm>\vec{OP}</jsm>, der durch einen Pfeil repräsentiert wird, der im Koordinatenursprung beginnt und im Punkt P endet.
theory/math/propability/variation.txt:<jsm>V( n, k ) = P(k) * C( n, k )</jsm> \\
theory/math/propability/variation.txt:<jsm>V( n, k ) = k1 * \frac{ n! }{ k! * (n-k)! } = \frac{ n! }{ (n-k)! }</jsm>
theory/math/propability/variation.txt:<jsm>V_{w}( n, k ) = n^k</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die relative Häufigkeit für alle möglichen Ereignisse ist 1: \\ <jsm>h_n(\Omega) = 1</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist immer größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1 \\ <jsm>0 \geq h_n(A) \geq 1</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Häufigkeit zweier sich gegenseitig ausschließender Ereignismengen addiert sich: \\ <jsm>h_n( A \cup B ) = h_n( A ) + h_b( B )</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Wahrscheinlichkeit der Menge aller möglichen Ereignisse ist 1: \\ <jsm>P(\Omega) = 1</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1 \\ <jsm>0 \geq P(A) \geq 1</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Wahrscheinlichkeit zweier sich gegenseitig ausschließender Ereignisse addiert sich: \\ <jsm>P( A \cup B ) = P( A ) + P( B )</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0: \\ <jsm>P( \emptyset ) = 0</jsm>
theory/math/propability/axiom.txt: - Die Wahrscheinlichkeit der ungünstigen Ereignisse ist 1 abzüglich der Wahrscheinlichkeit der günstigen Ereignisse: \\ <jsm>P( \overline{ A } ) = 1 - P( A )</jsm>
theory/math/propability/empiric.txt:Nicht immer sind die Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse so einfach zu bestimmen. Hier hilft nur, die Versuche möglichst häufig auszuprobieren die Häufigkeit als die Wahrscheinlichkeit anzunehmen. Dies ist jedoch kein gesichertes Verfahren. Wirft man eine Münze einmal und erhält als Ergebnis die Zahl, so bedeutet das nicht, dass die Zahl das sichere Ereignis ist und das Wappen nie erscheinen wird. Wirft man die Münze 10 mal, so ist die Wahrscheinlichkeit <jsm>\frac{1}{2^{10}}</jsm>, dass ausschließlich die Zahl erscheint. Man muss einen Versuch also sehr häufig machen, bevor man sich relativ sicher sein kann, dass man die relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit übernehmen kann.
theory/math/propability/empiric.txt:<jsm>P( A ) \approx h_n( A )</jsm> \\ \\
theory/math/propability/empiric.txt:<jsm>P( A ) \approx \frac{ h( A ) }{ n }</jsm>, wobei n der Anzahl der Versuche entspricht.
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( n, k ) = P( n, k, n-k ) = \frac{ n! }{ ( k! * ( n-k )! } = { n \choose k }</jsm>
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 6, 4 ) = { 6 \choose 4 }</jsm>
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 6, 4 ) = \frac{ 6! }{ 4! * ( 6-4 )! }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 6, 4 ) = \frac{ 720 }{ 24 * 2 }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 6, 4 ) = \frac{ 720 }{ 48 }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 6, 4 ) = 15</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 49, 6 ) = { 49 \choose 6 }</jsm>
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 49, 6 ) = \frac{ 49! }{ 6! * ( 49-6! )! }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 49, 6 ) = \frac{ 6,08 * 10^62 }{ 6,04 * 10^52 * 720 }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C( 49, 6 ) = 13983816</jsm>
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C_{w}(n, k ) = C( n + k - 1, k ) = { n+k-1 \choose k }</jsm>
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C_{w}( 49, 6 ) = C( 49+6-1, 6 )</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C_{w}( 49, 6 ) = { 54 \choose 6 }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>C_{w}( 49, 6 ) = \frac{ 2,31 * 10^{71} }{ 720 * 6,08 * 10^{62} }</jsm> \\
theory/math/propability/combination.txt:<jsm>Cw( 49, 6 ) = 28989675</jsm>
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>3! = 3 * 2 * 1</jsm>\\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P(3) = 6</jsm>
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P(5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120</jsm>
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) ... 1 = n!</jsm>
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P(Objekte, blaue, rot) = \frac{ Objekte! }{ blau! * rot! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 3, 1, 2 ) = \frac{ 3! }{ 1! * 2! } </jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 3, 1, 2 ) = \frac{ 6 }{ 1 * 2 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 3, 1, 2 ) = \frac{ 6 }{ 2 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 3, 1, 2 ) = 3 </jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( Objekte, rot, blau, grün ) = \frac{ Objekte! }{ rot! * blau! * grün! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 2, 3, 5 ) = \frac{ 10! }{ 2! * 3! * 5! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 2, 3, 5 ) = \frac{ 3628800 }{ 2 * 6 * 120 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 2, 3, 5 ) = 3628800 / 1440</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 2, 3, 5 ) = 2520</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( Objekte, rot, blau, grün ) = Objekte! / ( schwarz! * weiß! )</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 5, 5 ) = 10! / ( 5! * 5! )</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 5, 5 ) = 3628800 / ( 120 * 120 )</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 5, 5 ) = 3628800 / 14400</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 5, 5 ) = 252</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( Objekte, schwarz, weiß ) = \frac{ Objekte! }{ schwarz! * weiß! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 1, 9 ) = \frac{ 10! }{ 1! * 9! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 1, 9 ) = \frac{ 3628800 }{ 1 * 362880 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 1, 9 ) = \frac{ 3628800 }{ 362880 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 1, 9 ) = 10</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( Objekte, schwarz ) = \frac { Objekte! }{ schwarz! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 10 ) = \frac{ 10! }{ 10! }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 10 ) = \frac{ 3628800 }{ 3628800 }</jsm> \\
theory/math/propability/permutation.txt:<jsm>P( 10, 10 ) = 1</jsm> \\
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>n(1) = 102</jsm>
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>h(1) = \frac{ n(1) }{ n } = \frac{ 102 }{ 600 } = 0,17</jsm>
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>p( \omega_{i} ) = \frac1m</jsm>
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>A = \{ \omega_2, \omega_4, \omega_6 \}</jsm> \\
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>P( A ) = \sum_{ i \in A } p( \omega_{i} ) = \frac{ anzahlElemente( A ) }{anzahlElemente( \Omega ) }</jsm>
theory/math/propability/laplace.txt:<jsm>P( \{ \omega_2, \omega_4, \omega_6 \} ) = \sum_{i \in \{ \omega_2, \omega_4, \omega_6 \}} p( \omega_{i} ) = p( \omega_2 ) + p( \omega_4 ) + p( \omega_6 ) = \frac{ 3 }{ 6 } = \frac12</jsm>
theory/math/propability/conditional.txt:Wenn wir uns eine Urne ansehen, in der 2 weiße und 2 schwarze Kugeln sind, also zusammen vier Kugeln. Die Chance eine weiße Kugel zu ziehen ist also <jsm>\frac24</jsm> und genauso für eine weiße Kugel.
theory/math/propability/conditional.txt:Weiß aus 4 Kugeln ziehen: <jsm>P( Weiß ) = \frac24</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:Schwarz aus 4 Kugeln ziehen: <jsm>P( Schwarz ) = \frac24</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( Weiß | Schwarz ) = \frac23</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( Weiß | Schwarz ) = \frac{ P( Weiß \cap Schwarz )}{ P( Schwarz ) }</jsm>
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>G = G1 \cap G2 = \{ (1,1),(1,6),(2,2),(2, 6) \}</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( G2 | G1 ) = \frac4{12} = \frac13</jsm>
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>G1 \cap G2</jsm> ergibt vier Elementarereignisse: <jsm>\{ (1,1),(1,6),(2,2),(2, 6) \}</jsm>.
theory/math/propability/conditional.txt:Die Wahrscheinlichkeit ist entsprechend <jsm>\frac4{36}</jsm>. Die Wahrscheinlichkeit für das voraussetzende Ereignis G1 ist <jsm>\frac{12}{36}</jsm>.
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( G2 | G1 ) = \frac{ P( G1 \cap G2 )}{ P(G1) }</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( G2 | G1 ) = \frac{ \frac{4}{36} }{ \frac{12}{36} }</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( G2 | G1 ) = \frac{ 4 }{ 12 }</jsm> \\
theory/math/propability/conditional.txt:<jsm>P( G2 | G1 ) = \frac13</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P(A \cup B) = P(A) + P(B)</jsm>
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P(A) = p(1) + p(2) = \frac16 + \frac16 = \frac13</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P(B) = p(3) + p(4) = \frac16 + \frac16 = \frac13</jsm>
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac13 + \frac13 = \frac23</jsm>
theory/math/propability/addition.txt:Werfen wir eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit ein Wappen zu werfen ist <jsm>\frac12</jsm>.
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>Wappen = \{ W \}</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>Zahl = \{ Z \}</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P(Zahl) = P(Wappen) = \frac12</jsm>
theory/math/propability/addition.txt:Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit ein Wappen zu werfen <jsm>\frac12</jsm>. Wir finden eine gemeinsame Schnittmenge bei den günstigen Ergebnissen (beidemale ein Wappen): <jsm>Wappen1 \cap Wappen2 \ne \emptyset</jsm>, die Wahrscheinlichkeiten sind also nicht unabhängig.
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>MindestensEinWappen = \{ ( W, Z ), ( Z, W ), ( W, W ) \} = 3 * \frac12 * \frac12 = \frac34</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>ZweimalZahl = \{ ( Z, Z ) \} = \frac12 * \frac12 = \frac14</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>ZweimalWappen = \{ ( Z, Z ) \} = \frac12 * \frac12 = \frac14</jsm>
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P( MindestensEinWappen ) = P( Wappen1 ) + P( Wappen2 ) - P( ZweimalWappen )</jsm> \\
theory/math/propability/addition.txt:<jsm>P( MindestensEinWappen ) = \frac12 + \frac12 - \frac14 = \frac34</jsm>
wiki/jsmath.txt:===== jsmath ======
wiki/jsmath.txt:Bereiche für Formeln werden mit dem Tag <html><jsm></html> beschrieben.
wiki/jsmath.txt:<jsm>z_t = \frac{-(z - near)}{far-near} = -\frac{z}{far-near}+\frac{near}{far-near}</jsm>\\
wiki/math2.txt:Bereiche für Formeln werden mit dem Tag <html><jsm></html> beschrieben.
wiki/start.txt: * [[jsmath]] - Mathematische Formeln (wird deinstalliert, nicht mehr verwenden, math2 verwenden)
xin@v233381406:/www/proggenOrg/wiki/data/pages$
JsMath wird diese Woche abgeschaltet - auch wenn dann noch Seiten falsch sind.
