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Vektoren

Bevor es mit der Vektorrechnung richtig los geht muss natürlich erst einmal geklärt werden, was ein Vektor überhaupt ist und welche allgemeinen Aussagen zu Vektoren getroffen werden können.

Der Vektorbegriff

Im Einsteigstext wurde schon die Geschwindigkeit als gerichtete Größe benannt. Um bei diesem Beispiel zu bleiben, betrachten wir folgenden Sachverhalt:
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem 1) startet ein Fahrzeug im Punkt P(2,5) und eines zur gleichen Zeit im Punkt Q(3,4). Das erste Fahrzeug kommt nach einer bestimmten Zeit im Punkt P{prime}(4, 9)an, das zweite nach der gleichen Zeitspanne im Punkt Q{prime}(5,8). Wir wollen nun die Bewegungen vergleichen, wenn wir davon ausgehen, dass es sich um geradlinige gleichförmige Bewegungen handelt.
Dazu betrachten wir die Änderungen zwischen den Koordinaten, also deren Differenzen. Das erste Fahrzeug bewegt sich um 4 - 2 = 2 in x-Richtung und um 9 - 5 = 4 in y-Richtung. Die Geschwindigkeit lässt sich also zum Vektor (matrix{2}{1}{2 4}) zusammenfassen. Das zweite Fahrzeug bewegt sich um 5 - 3 = 2 in x-Richtung und um 8 - 4 = 4 in y-Richtung; der Geschwindigkeitsvektor beträgt auch hier (matrix{2}{1}{2 4}).
Das heißt also, dass wir durch den Vektor (matrix{2}{1}{2 4}) die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge beschreiben können.

Ein Vektor ist die Menge aller parallelen Pfeile mit der gleichen Länge und der gleichen Orientierung2). Wählt man Pfeile aus dieser Menge aus, dann nennt man diese Repräsentanten des Vektors.


Identität von Vektoren

Zeichnen wir einen Pfeil von P nach P{prime} und von Q nach Q{prime}, dann erhalten wir zwei Repräsentanten des Vektors (matrix{2}{1}{2 4}). Die Vektoren nennt man dann vec{PP{prime}} und vec{QQ{prime}}. Diese sind identisch, also gleich lang (Länge), zeigen in die gleiche Richtung (Parallelität) und die Spitze ist am selben Ende (Orientierung). Außerdem könnte man gedanklich einen Pfeil auf den anderen durch Verschiebung abbilden.

Zwei Vektoren sind genau dann identisch, wenn sie durch den selben Pfeil repräsentiert werden können.
(matrix{4}{1}{a_1 a_2 cdots a_n}) = (matrix{4}{1}{b_1 b_2 cdots b_n}) gilt genau dann, wenn a_1 = b_1, a_2 = b_2, ... und a_n = b_n.


Nullvektor

Den Vektor, dessen Koordinaten alle gleich null sind, nennt man Nullvektor vec{o}.


Diskussion

1)
Ein Koordinatensystem, in dem alle Achsen zueinander orthogonal (senkrecht) stehen und eine Einheit lang sind nennt man kartesisch.
2)
Wenn man sich den Pfeil vorstellt, dann gibt die Orientierung an, ob die Spitze vorn oder hinten ist. In mancher Fachliteratur wird dies auch der Richtungssinn genannt.