====== Lagebeziehungen zwischen Vektoren ======
Nun da wir die Rechengesetze der Vektoren kennen, können wir uns der Lage der Vektoren untereinander widmen. Dabei untersuchen wir im dreidimensionalen Raum die Winkelbeziehung, die Kolinearität und die Komplanarität.
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===== Orthogonalität =====
> Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null beträgt.
> vec{a} ortho vec{b}, wenn vec{a} circ vec{b} = 0.
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> Der Nullvektor vec{o} ist zu jedem Vektor orthogonal.
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==== Normalenvektor ====
Die zu einem gegebenen Vektoren orthogonalen Vektoren nennt man auch //Normalenvektoren//.\\
Für den zweidimensionalen Fall kann man zu einem gegebenen Vektor vec{a} = (matrix{2}{1}{x y}) den Normalenvektor vec{a{prime}} durch vec{a{prime}} = r · (matrix{2}{1}{y {-x}}) mit r in bbR, r <> 0 berechnen. Für delim{|}{r}{|} = 1 gilt delim{|}{vec{a}}{|} = delim{|}{vec{a{prime}}}{|}.\\
Beweis: ((q.e.d. ist die Abkürzung für //qoud erat demonstrandum// - was zu beweisen war))\\
tabular{000000}{000000}{
vec{a} circ {r · vec{a{prime}}} {= 0} {}
(matrix{2}{1}{x y}) circ {r · (matrix{2}{1}{y {-x}})} {= 0} {}
(x · r·y) {+} (y · (-r·x)) {= 0} {}
{r · x · y} {-} {r · x · y} {= 0} {}
{} {} {0} {= 0} {q.e.d.}
}
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===== Kollinearität =====
> Vektoren, deren Repräsentanten alle auf einer Gerade liegen **können**, heißen //kollinear//.
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Will man eine Vektorenmenge M = delim{lbrace}{vec{a_1}, vec{a_2}, cdots, vec{a_n}}{rbrace} auf Kollinearität testen, dann muss man überprüfen, ob für alle Vektoren vec{a_i} (außer vec{a_1}) vec{a_i} = r · vec{a_1} gilt, wobei r in bbR.\\
Dies nennt man auch //lineare Abhängigkeit//, was später noch näher erläutert werden soll.
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===== Komplanarität =====
> Vektoren, deren Repräsentanten alle in einer Ebene liegen **können**, heißen //komplanar//.
Die Komplanarität dreier Vektoren aus dem dreidimensionalen Raum lässt sich leicht durch das Spatprodukt beweisen: die Vektoren vec{a}, vec{b} und vec{c} heißen genau dann komplanar, wenn (vec{a}*vec{b})circ vec{c} = 0 gilt.
Will man eine Vektorenmenge M=delim{lbrace}{ vec{a_1}, vec{a_2}, cdots, vec{a_n}}{rbrace} auf Komplanarität testen, dann muss man überprüfen, ob für alle Vektoren vec{a_i} (außer vec{a_1} und vec{a_2}) die Gleichung r_1 · vec{a_1} + r_2 · vec{a_2} + ... + r_i · vec{a_i} = vec{o} eine Lösung besitzt, wobei r_1, r_2, ..., r_i beliebige reele Zahlen sind, die nicht alle gleichzeitig null sein dürfen.
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===== Winkel zwischen zwei Vektoren =====
Aus der Gleichung für das Skalarprodukt geht sofort die Winkelgleichung hervor.
> Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Vektoren und dem Produkt der Beträge der Vektoren.
> cos alpha = {vec{a} circ vec{b}}/{{delim{|}{vec{a}}{|}} · {delim{|}{vec{b}}{|}}}, wobei alpha dem Winkel zwischen vec{a} und vec{b} entspricht.
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===== Linearkombination und lineare Abhängigkeit =====
> Der Vektor vec{b} heißt //Linearkombination// der Vektoren vec{a_1}, vec{a_2}, ..., vec{a_n}, falls es reelle Zahlen r_1, r_2, ..., r_n gibt, sodass gilt:
> vec{b} = r_1 · vec{a_1} + r_2 · vec{a_2} + ... + r_n · vec{a_n}
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> Eine Menge von Vektoren heißt //linear abhängig//, wenn sich wenigstens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Ansonsten heißt die Vektormenge //linear unabhängig//.
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Durch Überlegung lässt sich zeigen, dass Mengen aus mindestens zwei kollinearen bzw. mindestens drei komplanaren Vektoren immer linear abhängig sind. Aus zweiterem folgt, dass im zweidimensionalen Raum eine Menge von drei Vektoren immer linear abhängig ist.
Daraus lässt sich schlussfolgern, dass im n-dimensionalen Raum eine Menge aus n + 1 Vektoren immer linear abhängig sein muss.
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Das heißt aber, dass sich ein Vektor im n-dimensionalen Raum immer als Linearkombination n nicht paralleler Vektoren darstellen lässt.\\
Hierbei nennt man die Menge der Vektoren vec{a_1} bis vec{a_n} //Vektor-Basis//, die Koeffizienten r_1 bis r_n //Koordinaten bezüglich der Basis// und die Produkte aus Vektor und Koeffizient //Komponenten bezüglich der Basis//.
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===== Koordinatensystem =====
> Als //Koordinatensystem// n-ter Dimension bezeichnet man eine Menge n linear unabhängiger Vektoren (Basisvektoren) und einen fest gewählten Punkt O (Koordinatenursprung).
> Als //Ortsvektor// eines Punktes P bezeichnet man den Vektor vec{OP}, der durch einen Pfeil repräsentiert wird, der im Koordinatenursprung beginnt und im Punkt P endet.
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> Ein Koordinatensystem heißt //kartesisch//, wenn alle Basisvektoren zueinander orthogonal sind und die Länge 1 besitzen.
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