====== Ergebnismengen ====== ===== Elementarereignis ===== Ein Elementarergebnis ist eine einzelne Möglichkeit in einem Zufallsexperiment. Als Beispiel sei ein Münzwurf genannt. Das Experiment eine Münze zu werfen endet in einem Elementarereignis: Die einzelnen Ereignisse werden mit dem Buchstaben ω (kleines Omega) beschrieben und durchnummeriert: ω₁ = "Kopf" \\ ω₂ = "Zahl" ===== Ergebnismenge ===== Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Elementarereignisse. Sie wird mit dem großen Omage Ω beschrieben. Ω = { ω₁, ω₂, ... } Im Beispiel des Münzwurfs entspricht Omega: Ω = { "Kopf", "Zahl" } Bei einem Würfelwurf entspricht die Ereignismenge: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ein weiteres Beispiel findet im Kapitel der [[combination|Kombination]]. ===== Teilmengen der Ergebnismenge ===== Teilmengen beschreiben eine Auswahl von möglichen Ergebnissen. Beim Würfeln kann die Menge G den geraden Zahlen entsprechen: G = { 2, 4, 6 } Entsprechend der [[theory:math:set|Mengenlehre]], lassen sich die ungraden Zahlen definieren: U = Ω − G. Die leere Menge (∅) ist das unmögliche Ereignis und per Definition Teilmenge von Ω. Ebenso ist Ω Teilmenge von Ω und beschreibt das sichere Ereignis: Was immer beim Experiment passiert, es gehört zur Menge Ω. ===== Ein Ereignis ===== Eine Ereignis A kann * die leere Menge ∅ sein, also niemals eintreffen * ein Elementarereignis sein, z.B. 1 beim Würfeln * eine Teilmenge sein, z.B. die Menge der graden Zahlen G * das sichere Ergebnissein, das immer eintritt: Ω ===== Verknüpfen von Mengen ===== Dieser Part entspricht der [[theory:math:set|Mengenlehre]]. Als Beispiele gilt hier das Würfelexperiment. U = { 1, 3, 5 } \\ G = { 2, 4, 6 } \\ M = { 1, 2, 3 } \\ N = { 4, 5, 6 } \\ ==== Vereinigung ===== Ein Ereignis kann mit einem anderen Ereignis vereinigt werden. Das bedeutet, dass die Elementarereignisse in einer Menge zusammengefasst werden. Beispiel: U ∪ N = { 1, 3, 5 } ∪ { 4, 5, 6 } = { 1, 3, 4, 5, 6 } ==== Durschnitt ==== Beim Durchschnitt entsteht eine neue Menge, die die Elementarereignisse enthält, die in beiden Mengen enthalten sind. Beispiel: U ∩ N = { 1, 3, 5 } ∩ { 4, 5, 6 } = { 5 } ==== Komplementärereignis ==== "Nicht" kehrt die Ereignismenge um. Hierfür wird die Menge überstrichen. G = U = { 2, 4, 6 } = { 1, 3, 5 } \\ M = N = { 1, 2, 3 } = { 4, 5, 6 }