====== Kombination ====== Bei der Kombination nehmen wieder beispielhaft Objekte aus einer Urne. Bei der [[Permutation]] werden alle Objekte aus der Urne genommen. Bei der Kombination macht man sich nun Gedanken, was passiert, wenn man nicht alle Kugeln aus der Urne nimmt - oder sie wieder zurücklegt und entsprechend häufiger ziehen kann. ===== Kombination ohne Zurücklegen ===== Wir nehmen also aus der Urne mit //n// verschiedenen Kugeln //k// Kugeln heraus. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, wie es beim Lottospiel üblich ist. Hier werden aus 49 Kugeln 6 verschiedene Kugeln gezogen. Die Frage ist also, wieviele Möglichkeiten existieren, //k// Kugeln aus //n// Kugeln zu ziehen. Ziehen wie aus 6 Kugeln 4 Kugeln, dann gibt es von 6 Kugeln 4, die gezogen werden und (6-4), also 2 Kugeln, die nicht gezogen wurden. Wenn wir uns an die [[Permutation]] erinnern, haben wir nun 4 Kugeln, die vergleichbar sind (nämlich gezogen) und 2 Kugeln, die ebenfalls vergleichbar sind (nämlich in der Urne verblieben). Wir schreiben für die Kombination: C( n, k ) = P( n, k, n-k ) = { n! } / { k! * ( n-k )! } = (matrix{2}{1}{ n k }) Man spricht "n über k" und schreibt dies wie einen zweidimensionalen Vektor. Allerdings darf man es nicht mit einem zweidimensionalen Vektor verwechseln! Für unser Beispiel gilt also C( 6, 4 ) = ( matrix{2}{1}{6 4} ) C( 6, 4 ) = { 6! }/{ 4! * ( 6-4 )! } \\ C( 6, 4 ) = { 720 }/{ 24 * 2 } \\ C( 6, 4 ) = { 720 }/{48} \\ C( 6, 4 ) = 15 \\ Es gibt also 15 verschiedene Möglichkeiten 4 Kugeln aus der Urne zu ziehen. - gezogen( 1,2,3,4 ), nicht gezogen( 5, 6 ) - gezogen( 1,2,3,5 ), nicht gezogen( 4, 6 ) - gezogen( 1,2,4,5 ), nicht gezogen( 3, 6 ) - gezogen( 1,3,4,5 ), nicht gezogen( 2, 6 ) - gezogen( 2,3,4,5 ), nicht gezogen( 1, 6 ) - gezogen( 1,2,3,6 ), nicht gezogen( 4, 5 ) - gezogen( 1,2,4,6 ), nicht gezogen( 3, 5 ) - gezogen( 1,3,4,6 ), nicht gezogen( 2, 5 ) - gezogen( 2,3,4,6 ), nicht gezogen( 1, 5 ) - gezogen( 1,2,5,6 ), nicht gezogen( 3, 4 ) - gezogen( 1,3,5,6 ), nicht gezogen( 2, 4 ) - gezogen( 2,3,5,6 ), nicht gezogen( 1, 4 ) - gezogen( 1,4,5,6 ), nicht gezogen( 2, 3 ) - gezogen( 2,4,5,6 ), nicht gezogen( 1, 3 ) - gezogen( 3,4,5,6 ), nicht gezogen( 1, 2 ) ==== Die Ergebnismenge ==== Diese Menge an möglichen Ergebnissen ist die Ergebnismenge Ω ("Omega"). Ω = { ( 1,2,3,4 ), ( 1,2,3,5 ), ( 1,2,4,5 ), ( 1,3,4,5 ), ( 2,3,4,5 ), ( 1,2,3,6 ), ( 1,2,4,6 ), ( 1,3,4,6 ), ( 2,3,4,6 ), ( 1,2,5,6 ), ( 1,3,5,6 ), ( 2,3,5,6 ), ( 1,4,5,6 ), ( 2,4,5,6 ), ( 3,4,5,6 ) } Weiterführendes folge im Kapitel [[setofevents|Ereignismengen]]. ==== Beipiel ==== === Lotto === Wir nehmen 6 Kugeln aus 49: C( 49, 6 ) = (matrix{2}{1}{49 6}) C( 49, 6 ) = { 49! }/{ 6! * ( 49-6! )! } \\ C( 49, 6 ) = { 6,08 * 10^62 }/{ 6,04 * 10^52 * 720 } \\ C( 49, 6 ) = 13983816 Die Chance also 6 Richtige zu erwischen bedeutet die einzige richtige Kombination zu treffen von den etwa 14 Millionen Möglichkeiten. ===== Kombination mit Zurücklegen ===== Wenn die Kugeln auch wieder zurückgelegt werden dürfen, müssen wir die Kugeln, die wir wieder reinlegen, mitberechnen: C_{w}(n, k ) = C( n + k - 1, k ) = ( matrix{2}{1}{n+k-1 k} ) ==== Beispiel ==== Nehmen wir an, wir machen die Lottoziehung und legen jedesmal, wenn wir eine Kugel gezogen haben, diese wieder zurück. Wie wahrscheinlich ist, dass 6 mal hintereinander die '1' gezogen wird? C_{w}( 49, 6 ) = C( 49+6-1, 6 ) \\ C_{w}( 49, 6 ) = ({54}under{6} } \\ C_{w}( 49, 6 ) = { 2,31 * 10^{71} }/{ 720 * 6,08 * 10^{62} } \\ Cw( 49, 6 ) = 28989675 Die Chance liegt also bei 1 zu rund 29 Millionen, dass die '1' 6mal hintereinander gezogen wird.