Mathematik für Computerbegeisterte

[Xin]

Mit Fixkommazahlen mit mind. einer Nachkommastelle ist 0.1 perfekt binär darstellbar. Dadurch ist das Problem gelöst, oder nicht? Habe ich vielleicht das falsche Problem versucht zu lösen? bin ein wenig verwirrt

0.1 ist dezimal. Computer rechnen binär.
0.1 binär ist 0.5 dezimal.
0.1 dezimal ist binär nicht in endlicher Form formulierbar. Also muss man irgendwann mit der Beschreibung aufhören. Damit ist die binäre Zahl aber eben nicht genau 0.1 dezimal.

[cloidnerux]

Mit Fixkommazahlen mit mind. einer Nachkommastelle ist 0.1 perfekt binär darstellbar. Dadurch ist das Problem gelöst, oder nicht? Habe ich vielleicht das falsche Problem versucht zu lösen? bin ein wenig verwirrt

Das Problem ist Folgendes:
Dezimal:

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10^2 10^1 10^0 10^-1 10^-2
  0    1    1    1    1    = 11,11

Binär:

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2^2 2^1 2^0 2^-1 2^-2
 1    1   1   1    1 = 7,75 Dezimal

Damit ergibt sich für den Nachkommateil eine Summe aus 1/2^n und diese verhält sich nicht genauso wie eine Summe von x_n*1/10^n wie bei Dezimalzahlen.

[oenone]

0.1 ist dezimal. Computer rechnen binär.

Das ist mir klar. Allerdings kann ich eine Datenstruktur definieren, die eine fixe Anzahl an dezimalen Nachkommastellen darstellt.

Eine einfache Implementierung wäre z.B. die Zahl einfach ohne das Komma ins Binäre zu übersetzen. Da die Anzahl an Nachkommastellen bekannt ist, wird bei Konvertierungen (z.B. für Ausgabe) das Komma wieder eingefügt. Damit wäre 0.1 intern wie eine 1 dargestellt.

Genau sowas gibt es bei Ada von Haus aus mit. Ich kann durch "type Fixed is digits 1;" festlegen, dass der Typ "Fixed" eine dezimale Nachkommastelle enthält. Intern werden zwar weiterhin IEEE-Floats benutzt, aber bei den Berechnungen werden die zusätzlichen Einschränkungen berücksichtigt, wodurch aus (666.6-666.5)*10000 auch wirklich 1000.0 raus kommt.

[Xin]

0.1 ist dezimal. Computer rechnen binär.

Das ist mir klar. Allerdings kann ich eine Datenstruktur definieren, die eine fixe Anzahl an dezimalen Nachkommastellen darstellt.

Ja, das geht.
Das wäre a) kein Primitiv, daher b) langsam beim rechnen und c) löst es das grundsätzliche Problem nicht, dass mit begrenzten Speicher Rundungsfehler entstehen, denn...

Eine einfache Implementierung wäre z.B. die Zahl einfach ohne das Komma ins Binäre zu übersetzen. Da die Anzahl an Nachkommastellen bekannt ist, wird bei Konvertierungen (z.B. für Ausgabe) das Komma wieder eingefügt. Damit wäre 0.1 intern wie eine 1 dargestellt.

...dann speichere mal 0.01.

Genau sowas gibt es bei Ada von Haus aus mit. Ich kann durch "type Fixed is digits 1;" festlegen, dass der Typ "Fixed" eine dezimale Nachkommastelle enthält. Intern werden zwar weiterhin IEEE-Floats benutzt, aber bei den Berechnungen werden die zusätzlichen Einschränkungen berücksichtigt, wodurch aus (666.6-666.5)*10000 auch wirklich 1000.0 raus kommt.

Das hätte ich dann gerne erstmal bewiesen. ^^
Könntest Du das Ergebnis mal auf 25 Nachkomma-Stellen ausgeben?

[oenone]

Dafür müsste ich "digits 25" benutzen, allerdings unterstützt die GNAT-Implementierung nur 18 Nachkommastellen. Im Übrigen habe ich mich ein wenig geirrt, wenn ich nur "digits x" angebe, ist es weiterhin ein Floating Point typ, allerdings mit x dezimalen Nachkommastellen.

Für Fixed Point muss ich noch ein delta angeben.

Beispiel:

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with Ada.Text_IO;
procedure Fixed is
   type Fixed_Point is delta 0.000000001 range 0.0 .. 1.0;
   package Fixed_IO is new Ada.Text_IO.Fixed_IO (Fixed_Point);
begin
   Ada.Text_IO.Put ("0.1 = ");
   Fixed_IO.Put (0.1);
   Ada.Text_IO.New_Line;
end Fixed;

Ausgabe:

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0.1 =  0.100000000

Aber ich stimme dir zu, nummerische Berechnungen sind meistens Fehlerbehaftet und man sollte das berücksichtigen.