theory:math:vectoranalysis

[fat-lobyte]

Von Dir wünsche ich mir am meisten, wenn Du Dich bzgl. git auslässt.

Der Wunsch besteht immer noch? Hm, dann werde ich wohl meine Wiki-Prioritäten neu verteilen.

Ja, aber definitiv NICHT unter Vektoranalysis. (-;
Da wäre dann ein Punkt "Lineare Algebra" besser.

Da hast du recht.

EDIT: Für n-dimensionale mach ich's ja jetzt schon, aber das ist noch nirgends verlinkt. (theory:math:vectoranalysis_new)

Was noch anzumerken ist: ich glaube mit relativ wenig Aufwand lässt sich hier ein bischen was verallgemeinern. Ich les mir das Tutorial mal durch und dann schreib ich einfach hier, was mir dazu einfällt, ok?

[AnGaiNoR]

Was noch anzumerken ist: ich glaube mit relativ wenig Aufwand lässt sich hier ein bischen was verallgemeinern. Ich les mir das Tutorial mal durch und dann schreib ich einfach hier, was mir dazu einfällt, ok?

Außer, dass man alles noch auf komplexe Vektorräume beziehen könnte, fiele mir da nichts ein. ^^
Aber ich will ja nichts vorwegnehmen, darfst gerne Vorschläge anbringen. ;-D

EDIT: Wobei ich mir im Falle des komplexer Vektorräume noch nicht so sicher wäre, wie ich das Skalarprodukt einführen soll... Da braucht man schonmal definitiv irgendeine Komponentendarstellung, und die erhält man ja als Skalarprodukt mit Basisvektoren. Da beißt sich die Schlange in den Schwanz, irgendwie.

[fat-lobyte]

EDIT: Wobei ich mir im Falle des komplexer Vektorräume noch nicht so sicher wäre, wie ich das Skalarprodukt einführen soll... Da braucht man schonmal definitiv irgendeine Komponentendarstellung, und die erhält man ja als Skalarprodukt mit Basisvektoren. Da beißt sich die Schlange in den Schwanz, irgendwie.

Sei
z = x + i.y
(eine komplexe Zahl)
Dann sei
z* = x - i.y
(ihre komplex konjugierte)

Das Skalarprodukt für 2 komplexe Vektoren a, b mit komponenten (a_1,a_2,a_3/b_1,b_2,b_3) ist dann definiert als:
a . b = Summe(k=0, N)(a_k* . b_k)

Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprod ... dukt_im_Cn

[AnGaiNoR]

Das Skalarprodukt für 2 komplexe Vektoren a, b mit komponenten (a_1,a_2,a_3/b_1,b_2,b_3) ist dann definiert als:
a . b = Summe(k=0, N)(a_k* . b_k)

Und was sind die Komponenten?

[fat-lobyte]

Das Skalarprodukt für 2 komplexe Vektoren a, b mit komponenten (a_1,a_2,a_3/b_1,b_2,b_3) ist dann definiert als:
a . b = Summe(k=0, N)(a_k* . b_k)

Und was sind die Komponenten?

Das Skalarprodukt des Vektors mit den Basisvektoren.
Ok, ich verstehe deinen Einwand, aber dasselbe Problem hast du auch bei Reelen Vektoren
Du musst in jedem VR eine Basis definieren, und du kannst einen Vektor immer nur Basisabhängig darstellen. Der einzige unterschied ist, dass du anstatt einer reelen komponente eine komplexe hast.

[AnGaiNoR]

Das Skalarprodukt des Vektors mit den Basisvektoren.
Ok, ich verstehe deinen Einwand, aber dasselbe Problem hast du auch bei Reelen Vektoren

Nein, da kann man zur Definition auch den Winkel zwischen den Vektoren nehmen, das ist der springende Punkt. Funktioniert im komplexen aber nicht.

[fat-lobyte]

Nein, da kann man zur Definition auch den Winkel zwischen den Vektoren nehmen, das ist der springende Punkt. Funktioniert im komplexen aber nicht.

Richtig, funktioniert nicht. Funktioniert übrigens in keinem Vektorraum außer dem R^2 und R^3, und genau deswegen finde ich es etwas happig Skalarprodukt darüber zu definieren, denn das gilt nur für den euklidischen Raum.
Das war eben ein Punkt den ich ansprechen wollte - es geht allgemeiner.

Wenn wir schon dabei sind:
Die forderungen nach "Skalarprodukt" und "Norm" sind zuviel für einen einfachen Vektorraum.
Ein Vektorraum mit Norm heißt "normierter Vektorraum",
ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt "Innenproduktraum" (oder Prä-Hilbertraum).

Das ist im Falle des R^2 und R^3 zwar alles dieselbe Wurst, allerdings ist das nicht immer der Fall.

Und hier wäre man dann beim Punkt angelangt, an dem die anschaulichkeit verlorengeht und die Lineare Algebra oder Funktionalanalysis beginnt. Ob man in diese Tiefen wirklich absteigen sollte, ist Fragwürdig.

[AnGaiNoR]

Richtig, funktioniert nicht. Funktioniert übrigens in keinem Vektorraum außer dem R^2 und R^3,

Warum sollte das im R^4 nicht gehen? Auch da liefert das Standardskalarprodukt der normierten Vektoren eine reele Zahl im Intervall [-1,+1]. Davon der Arcuscosinus ist der Winkel. Da seh ich kein Problem drin.

[fat-lobyte]

Warum sollte das im R^4 nicht gehen? Auch da liefert das Standardskalarprodukt der normierten Vektoren eine reele Zahl im Intervall [-1,+1]. Davon der Arcuscosinus ist der Winkel. Da seh ich kein Problem drin.

Natürlich geht das, sogar ohne Probleme. Dann bleibt nur noch die Frage was denn ein Winkel im R^4 bedeutet. Kannst du's dir vorstellen? Kannst du was sinnvolles damit rechnen? Du könntest dann nämlich genausogut Winkel zwischen Funktionen berechnen (mit <f,g> = \int_{-inf}^{inf} dx f(x)g(x) für Quadrantigrable funktionen aus R). Nur was bedeutet er?

Damit die Diskussion nicht aus dem Ruder läuft:
Es ist absolut legitim das Skalarprodukt so zu definieren, es ist anschaulich, logisch und passt. Man muss sich nur dessen Bewusst sein, dass diese Sichtweise aus didaktischen Gründen eingeschränkt ist. An den richtigen Stellen sollte erwähnt werden, dass es auch andere, allgemeinere Definitionen für die Begriffe gibt.

Ein Vektorraum ist nämlich nicht nur das was man sieht, wenn man in ein Zimmer ein Koordinatensystem reinzeichnet, man kann ihn auch abstrahieren und zu ziemlich spaßigen Dingen missbrauchen. Nur das wollte ich damit zum ausdruck bringen, nicht dass deine Ausführungen falsch sind.

[AnGaiNoR]

Ein Vektorraum ist nämlich nicht nur das was man sieht, wenn man in ein Zimmer ein Koordinatensystem reinzeichnet, man kann ihn auch abstrahieren und zu ziemlich spaßigen Dingen missbrauchen.

Deshalb heißt ja die Überschrift auch nicht "Vektorräume" sondern "Vektoranalysis" und ich erwähne ganz am Anfang, dass nur die Perspektive der analytischen Geometrie eine Rolle spielen soll. Das schließt Vektorräume à la Menge der stetigen Funktionen in [0,1] a priori aus.
Also läuft es doch nur auf Koordinatensysteme in Zimmern hinaus, nur ist das Zimmer oft gekrümmt und hat manchmal auch mehr als drei Dimensionen. ^^